Caneca x donut

Uma caneca e um donut são iguais? Para a Topologia, sim!

Todos sabemos que é impossível tomar café em um em um donut. No entanto, imagine que esse donut seja feito de uma borracha bem maleável. Então podemos deformar esse donut sem rasgar-lo/furá-lo até que ele se torne uma caneca. Reciprocamente, podemos deformar a caneca até que ela se transforme em um donut.

A Topologia é uma subárea da matemática, informalmente conhecida como a geometria dos objetos de borracha. Ela estuda propriedades que se mantêm quando esmagamos e/ou esticamos um objeto sem rasgá-lo ou furá-lo.

Para a Topologia, a caneca e o donut são equivalentes. Objetos equivalentes do ponto de vista da Topolgia são chamados homeomorfos. A caneca é homeomorfa a um donut, mas ambos não são homeomorfos a uma esfera maciça, por exemplo.

Note que tanto a caneca quanto o donut tem um “buraco”, o que não ocorre com a esfera maciça. Mais geralmente, como as deformações permitidas não rasgam e nem furam os objetos, é natural esperarmos que objetos homeomorfos tenham o mesmo número de buracos. A esfera maciça é homeomorfa a um cubo (ambos não possuem buracos).

O número de buracos em um objeto é um exemplo de invariante topológico. Outro invariante topológico é o “número de pedaços” de um objeto.