Calculadora Mecânica Binária

Um pouco de história

O conceito de número e o processo de contar desenvolveram-se tão antes dos primeiros registros históricos que a maneira como ocorreram é largamente conjectural. Não é difícil, porém, imaginar como isso provavelmente se deu. É razoável admitir que a espécie humana, mesmo nas épocas mais primitivas, tinha algum senso numérico, pelo menos ao ponto de reconhecer mais e menos quando se acrescentavam ou retiravam alguns objetos de uma coleção pequena. Com a evolução gradual da sociedade, tornaram-se inevitáveis contagens simples.

É provável que a maneira mais antiga de contar se baseasse em algum método de registro simples, empregando o princípio da correspondência biunívoca. Para uma contagem de carneiros, por exemplo, podia-se dobrar um dedo para cada animal. Podia-se também contar fazendo-se ranhuras no barro ou numa pedra, produzindo-se entalhes num pedaço de madeira ou fazendo-se nós numa corda.

Partindo desta perspectiva, as mãos configuram-se no mais antigo e difundido acessório de contagem. Nossa primeira máquina de contar já era digital desde o princípio. Todavia, este “computador” era deveras limitado, mesmo para civilizações antigas que, em certas circunstâncias, necessitavam de muitas pessoas para realizar contagens com valores elevados.

Nossa calculadora mecânica é binária, pois opera com números usando o sistema binário de numeração. E é justamente esse sistema, por possuir apenas dois símbolos distintos para representação numérica (0 e 1), que permite a construção dessa calculadora Mecânica.

O que é e como funciona

A ideia da calculadora mecânica é realmente ser uma calculadora. Ela soma números representados no sistema binário através de bolinhas de gude. 

A operação é bastante simples: 

As bolinhas representam os algarismos 0 (ausência de bolinha) e 1 (presença de bolinha). Inicialmente todos os flip-flops devem estar apoiados em seu lado esquerdo. Colocamos as bolinhas referentes ao algarismo 1 na representação do primeiro número e puxamos a placa móvel superior. Repetimos o procedimento para o segundo número. Após os ajustes (ou após o repouso das bolinhas que estão na máquina) puxamos a placa móvel inferior e obtemos o resultado.

A operação pode ser vista em: Operação da Calculadora

Vamos agora entender o princípio de funcionamento desta calculadora tão divertida!

Em primeiro lugar, precisamos entender um pouco sobre números e operações no sistema binário ou sistema de base 2: nosso sistema usual de numeração é o decimal (base 10); isto quer dizer que temos 10 símbolos (os algarismos de 0 a 9) e os números são representados na forma:

x_010^0+x_110^1+\cdots+x_n10^n=x_0+x_110+x_2100+\cdots

onde x_0, x_1,\ldots , x_n são um dos algarismos de 0 a 9. Observe também que os algarismos de 0 a 9 representam justamente os restos possíveis na divisão inteira por 10, a nossa base.

Transportando essas ideias para base 2, temos que os restos possíveis na divisão por 2 são 0 ou 1, logo nossos símbolos serão os algarismos 0 e 1. Como nossa base agora é 2, a representação ficará na forma:

x_02^0+x_12^1+x_22^2+\cdots+x_n2^n=x_0+x_12+x_24+\cdots

Por exemplo, vamos somar os números 17 e 29. Para transformar na forma binária, vamos dividindo sucessivamente pelo 2, até que cheguemos num quociente zero, obtendo

Figura 2: Divisões sucessivas

Quando somamos (considerando base 2), obtemos 10001+11101=101110, e voltando para decimais temos

17+29=0+1\cdot 2+1 \cdot 4+1 \cdot 8+0\cdot 16+1 \cdot 32=46

Mecanicamente, o trabalho é feito por essas pecinhas de madeira móveis, que funcionam como flip-flops físicos.

Em eletrônica, um flip-flop é um circuito digital que é capaz de servir como uma memória de um bit. E é exatamente isso o que a peça física faz. Caso o algarismo inserido nessa posição seja 1, ele armazena como vemos na figura 2 a bolinha referente a esse algarismo. Se no segundo número inserido o algarismo na posição também for 1, a peça irá se mover, descartando a bolinha armazenada e armazenando uma bolinha na posição seguinte, tendo em vista que o número 2 no sistema binário é representado por 10. 

Quando terminamos a soma puxando a placa móvel inferior, ao mesmo tempo em que liberamos as bolinhas armazenadas em cada posição, colocamos um anteparo para que elas fiquem paradas na madeira com as posições marcadas para que possamos obter nosso resultado.

Um exemplo para entender melhor

Fazendo uma soma bem simples, como 1+1, observamos bem o funcionamento: 

Primeiro colocamos a bolinha na posição 1 e puxamos a placa móvel superior. Nossa bolinha fica armazenada ali junto ao flip-flop da posição 1.

Colocando outra bolinha na posição 1 e puxando novamente a placa móvel superior, o flip-flop irá virar com o peso da nova bolinha, liberando a que está armazenada na posição 1 (e, como a base móvel inferior não está puxada, essa bolinha será descartada) e armazenando a nova bolinha na posição 2.

Finalmente puxamos a placa móvel inferior e a bolinha armazenada irá cair na posição 2 nos fornecendo o resultado. Nas imagens do simulador a resposta aparece na parte redonda da placa móvel inferior. Na prática, basta somar os valores das posições onde temos uma bolinha na placa móvel inferior após a finalização.

Figura 6: Finalizando a operação

Para fazer nova soma, basta devolver as duas placas móveis para a posição inicial.

Saiba mais

Caso queira testar o funcionamento, pode usar o simulador.

Para quem se interessar e souber um pouco de inglês, pode também consultar os detalhes da construção da máquina, bem como seu projeto.