Jarras de Bezout

O desafio das “Jarras de Bezout”, também conhecido como “Problema das Jarras de Água” ou “Problema das Jarras de Dois Baldes” é um problema matemático clássico que envolve encher e esvaziar jarras de capacidades diferentes para obter uma determinada quantidade de água em uma das jarras.

Aqui está uma descrição básica do problema:

Suponha que você tenha duas jarras de capacidades diferentes, por exemplo, uma jarra de 7 litros e outra de 5 litros. O objetivo é medir uma quantidade específica de água, por exemplo, 1 litro, usando essas jarras e as operações de enchimento, esvaziamento e transferência entre as jarras.

As regras são as seguintes:

• Você pode encher uma jarra até a capacidade máxima.
• Você pode esvaziar uma jarra completamente.
• Você pode transferir água de uma jarra para a outra até que a jarra de origem esteja vazia ou a jarra de destino esteja cheia

O desafio consiste em determinar uma sequência de ações para alcançar a quantidade desejada de água em uma das jarras. 

O problema pode se tornar mais complexo com jarras de capacidades diferentes e quantidades de água diferentes desejadas.

Vejamos, se você quisesse obter 2 litros de água em uma jarra, utilizando uma jarra de 5 litros e outra de 7 litros, poderia fazer com os seguintes passos: encher a jarra de 7 litros e esvaziá-la na de 5 litros, com isso restariam 2 litros na jarra de 7 litros e o problema estaria resolvido. 

Utilize o applet abaixo e tente obter 1 litro de água em um dos baldes.

Não é muito difícil obter 1 litro de água, aliás há várias formas de chegar a esse resultado com mais ou menos ações. Além disso, você pode ter percebido que é possível obter outras quantidades (2 litros, 3 litros, 4 litros, etc.). 

O desafio das Jarras de Bezout é frequentemente usado como um exercício de pensamento em aulas de matemática e lógica, pois requer uma abordagem estratégica para determinar as ações corretas a serem executadas para atingir o objetivo desejado.

Imagine agora, jarros com outras capacidades de armazenamento, será que sempre é possível obter a quantidade desejada? Se tivéssemos jarros de 2 e 4 litros, por exemplo, conseguiríamos obter exatamente 1 litro? Existem condições que garantam que o problema terá solução?

Saiba mais

O problema das Jarras de Bezout é um excelente exemplo de como um desafio matemático aparentemente simples pode levar a conceitos mais profundos e ter aplicações práticas em várias áreas da matemática e da computação. Além disso, ele ilustra como a matemática pode ser divertida e envolvente, desafiando as mentes a encontrarem soluções criativas e eficientes.

Há algumas curiosidades interessantes relacionadas ao problema das Jarras de Bezout:

Solução Ótima: O algoritmo de Euclides estendido pode ser usado para resolver o problema das Jarras de Bezout, ajudando a determinar se é possível ou não obter a quantidade desejada de água, bem como uma sequência de passos mínima para alcançar esse objetivo.

Soluções Múltiplas: Para algumas combinações de capacidades de jarra e quantidade desejada de água, pode haver várias maneiras de alcançar o objetivo. Isso pode levar a diferentes sequências de ações, resultando em diferentes números de passos para atingir o mesmo resultado.

Generalizações: O problema das Jarras de Bezout pode ser generalizado para mais de duas jarras, tornando o problema mais complexo.

Resolução Computacional: É possível escrever programas de computador para resolver o problema das Jarras de Bezout de forma automatizada, tais programas podem encontrar as sequências de passos para alcançar o objetivo de maneira eficiente.Habilidade de Resolução de Problemas: O problema das Jarras de Bezout é um ótimo exercício para desenvolver habilidades de resolução de problemas, raciocínio lógico, pensamento criativo, além da capacidade de utilizar uma estratégia bem planejada para resolução de um problema.

Como fazer em casa / na escola

• Formato de atividade: físico e visual.

• Tipo de atividade: desafio
  
• Objetivo da atividade: Desenvolver habilidade de raciocínio lógico e estratégia, além de fomentar o interesse pela matemática.

• Informações relevantes sobre a atividade:

Sugestão de atividade: Dinâmica de Grupo

Uma das variantes do desafio  das Jarras de Bezout usa apenas dois baldes inicialmente vazios de capacidades $a$ e $b$ e um poço contendo um suprimento inesgotável de água. 

Esta variante de dois baldes é usada no filme “Duro de Matar: A vingança” (1995). Os personagens John McClane e Zeus Carver (interpretados por Bruce Willis e Samuel L. Jackson) resolvem a variante de dois baldes com duas jarras e água de uma fonte pública para tentar impedir a explosão de uma bomba.  obtendo 4 galões de água usando apenas Jarros de 5 galões e 3 galões.

Nessa atividade, em formato de brincadeira, sugere-se que o professor primeiro passe o trecho do filme e em seguida utilize recipientes com diferentes capacidades e o desafio para que os estudantes salvem um colega dando a quantidade certa do antídoto para um veneno (não se pode tomar mais nem menos que a quantidade correta).

Sugestões de material:

copos de 300 e 500 mL com objetivo de obter 100mL, 200mL ou 400mL. (ou o professor pode, a depender do material disponível, elaborar variantes da história e do desafio).

A sugestão dada serve para o início da discussão.